1.1 Introduction to Mathematics (गणितस्य परिचयः)
अध्ययन-हेतवः || Learning Objectives
- गणितस्य अर्थः महत्त्वं च ।
- लीलावती-ग्रन्थस्य मङ्गलाचरणम् ।
- गणितस्य दैनन्दिने व्यवहारे मूल्यम् - गणितसारसङ्ग्रहः ।
- आश्चर्यकारकाः प्राचीनगणित-आविष्काराः ।
- अनुभवात्मक-कृतयः ।
परिचयः ॥ Introduction
गण्यते इति गणितम् उच्यते । अतः गणितं नाम गणना-शस्त्रम् । गणित-शब्दः पुरातनः अस्ति । तथा च, वेदेषु तस्य उपयोगः प्रचुरत्वेन दृष्यते । प्रचीनकाले खगोलशास्त्रम् (नाम ज्योतिःशास्त्रम्) अपि गणिते एव समाविष्टः भवति स्म । अनन्तरकाले तस्य अध्ययनं पृथक् अभवत् ।
वेदाङ्गज्योतिष् नाम्नि ग्रन्थे आचार्य-लगाधेन षट्सु शास्त्रेषु नाम वेदाङ्गेषु गणितम् उन्नततमं स्थानं प्रदत्तम् ।
यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा ।
तद्वद्वेदाङ्गशास्त्राणां ज्योतिषं (गणितं) मूर्धनि स्थितम् ॥ १९ ॥ (Veda. Jyot. 4[1])
अर्थः - यथा मयूराणां शिखा मूर्धनि स्थिता, यथा च नागानां मणयः मूर्धनि स्थिताः, तथैव वेदाङ्गशात्राणां वेदाङ्गशास्त्रेषु वा गणतं मूर्धनि स्थितं नाम प्रधानत्वेन तष्ठति इति । (Illustration Required)
भारतवर्षे प्राचीनकालतः सङ्ख्याः प्रचलिताः । तासां वर्णनं प्राचीनतम-वाङ्मयेषु नाम वेदेषु दृश्यते । प्राचीन-भारतीय-गणित-शास्त्रस्य विकासे सङ्ख्यावाचकाः (एकतः नवपर्यन्तम्), सङ्ख्यास्थानमूल्यम्, शून्यस्य परिचयः इत्यादीनां विशेषसङ्कल्पनानां महत्वपूर्णं योगदानम् आसीत् । विद्यारम्भे गणित-शास्त्रस्य यथोचितं ज्ञानं प्राप्तुं भास्कराचार्यवत् प्रार्थनां कुर्मः ।
मङ्गलाचरणम् ।
लीलावती नाम भास्कराचार्येण जगते प्रदत्तं सर्वश्रेष्ठं गणितीय-योगदानं वर्तते | तेन हि दैनन्दिनव्यवहारेषु परिचितानां सरलानां उदाहरणानां साहाय्येन छात्राः प्रमोदेन गणनाम् अध्येतुं शक्नुवन्ति | ऋषिभिः गुरुभिश्च यथा विहितं तदनुसृत्य कार्यारम्भात् प्राक् कार्ये अस्माकं देवतानां मार्गदर्शनं स्यात् इत्यर्थं तासां मङ्गलाचरणेन प्रार्थनां कुर्मः | अतः भास्कराचार्येण लीलावती-ग्रन्थे समर्पितां प्रार्थनां पठामः |
प्रीतिं भक्तजनस्य यो जनयते विघ्नं विनिघ्नन् स्मृत-
स्तं वृन्दारकवृन्दवन्दितपदं नत्वा मतङ्गाननम् ।
पाटीं सद्गणितस्य वच्मि चतुरप्रीतिप्रदां प्रस्फुटां
सङ्क्षिप्ताक्षरकोमलामलपदैर्लालित्यलीलावतीम् ।। (शार्दूलविक्रीडितम् लीला. 1.1)
यस्य चरणः देवगणैः पूजितः । स्मृते सति यः भक्तानां विघ्नं हरति आनन्दं च कारयति । तं गजाननं नमस्कृत्य अङ्कगणितस्य विषये लीलावती नाम्नः अल्पाक्षरैः मृदुलैः शुद्धैश्च पदैः संयुक्तं एकं स्पष्टं रमणीयं च ग्रन्थं ब्रवीमि (रचयामि) यः बुद्धिमतः आनन्दप्रदायकं वर्तते | (Illustration Required for following place-holder)
लीलावती-ग्रन्थस्य प्रथमे श्लोके भास्कराचार्यः विघ्नेशं नमति |
भारतीय-परम्पराम् अनुसृत्य भास्कराचार्यः लीलावती-ग्रन्थस्य प्रारम्भः अनेन मङ्गलाचरणश्लोकेन करोति | अस्मिन् श्लोके आचार्यः ग्रन्थस्य परिपूर्त्यर्थं विघ्नहर्तारं प्रथमपूज्यं च गणेशं प्रार्थयते | एतदपि कथयति यत् एषः ग्रन्थः अङ्कगणित-विषयकः मनोहरः सुगम्य-रीत्या च लिखितः अस्ति इति |
गणितस्य स्थानम् |
गणितस्य अभ्यासः नाम सङ्ख्यानाम् अवगमनं,तेषां गणना परिकर्माणि च | गणितं बुद्धेः जागरणार्थं संवर्धनार्थं च साहाय्यं करोति | तेन परिसरज्ञानस्य क्षमता वर्धते |
व्याकरणादि-अन्यशास्त्रानुसारं गणितस्य नाम गणनाशास्त्रस्य प्रारम्भः अपि वैदिक-कर्माणां साहाय्यार्थमेव अभवत् | एषः एव गणितशास्त्रस्य ज्योतिःशास्त्रस्य च आरम्भः | 'मया नैकानि शास्त्राणि कलाश्च अधीतानि' इति छान्दोग्य-उपनिषदि नारद-मर्हर्षिः अवदत् | महर्षिणा नक्षत्रविद्या नाम्ना प्रसिद्धं ज्योतिःशास्त्रं राशि-विद्या नाम्ना प्रसिद्धं अङ्कगणितं च अधीतम् | (Image of Narada saying “I know Nakshatra-vidya” and associated picture)
प्राचीनकालत् जैन-आचार्यैः तथा बौद्ध-आचार्यैः अपि गणितशास्त्रस्य विकासार्थं महत् योगदानं कृतम् | सङ्ख्यान-ज्ञानं नाम अङ्कगणितेन ज्योतिःशास्त्रेण च संयुक्तं सङ्ख्यानां शास्त्रं जैनमुनीनां मुख्या सिद्धिः इति मतम् | महावीरः तस्मिन् काले श्रेष्ठः गणितज्ञः आसीत् | तस्य समीपे एतस्य विषयस्य प्रगाढं ज्ञानम् आसीत् | तेन गणितसारसङ्ग्रहः नाम्नः एकः ग्रन्थः विरचितः | अधः दत्ताः श्लोकाः गणितशास्त्रस्य उपयोगः महत्त्वं च वर्णयन्ति |
लौकिके वैदिके वापि तथा सामायिकेऽपि यः । व्यापारस्तत्र सर्वत्र संख्यानमुपयुज्यते ।। 9
कामतन्त्रेऽर्थशास्त्रे च गान्धर्वे नाटकेऽपि वा । सूपशास्त्रे तथा वैद्यो वास्तुविद्यादिवस्तुषु ।। 10
छन्दोऽलङ्कारकाव्येषु तर्कव्याकरणादिषु । कलागुणेषु सर्वेषु प्रस्तुतं गणितं परम् ।। 11
सूर्यादिग्रहचारेषु ग्रहणे ग्रहसंयुतौ । त्रिप्रश्ने चन्द्रवृत्तौ च सर्वत्राङ्गीकृतं हि तत्।। 12
द्वीपसागरशैलानां संङ्ख्याव्यासपरिक्षिपः । भवनव्यन्तरज्योतिर्लोककल्पाधिवासिनाम् ।। 13
नारकाणां च सर्वेषां श्रेणीबन्धेन्द्रकोत्कराः । प्रकीर्णकप्रमाणाद्या बुध्यन्ते गणितेन ते ।। 14
प्राणिनां तत्र संस्थानमायुरष्टगुणादयः । यात्राद्यास्संहिताद्यश्च सर्वे ते गणिताश्रयाः।। 15
बहुभिर्विप्रलापैः किं त्रैलोक्ये सचराचरे । यत्किञ्चिद्वस्तु तत्सर्वं गणितेन विना न हि ।। 16 (Ganita Sarasangraha 9-16[2])
सर्वेषु लौकिकेषु वैदिकेषु धार्मिकेषु वा व्यवहारेषु गणना उपयुक्ता अस्ति | कामशास्त्रे अर्थशास्त्रे सङ्गीते नाटके पाककलायां आयुर्वेदे स्थापत्ये छन्दःशास्त्रे काव्ये काव्यशास्त्रे च तर्कविद्यायां व्याकरणशास्त्रे तथा सर्वासु कलासु गणितशास्त्रस्य महत्त्वपूर्णं स्थानम् अस्ति | सूर्यस्य अन्येषां ग्रहाणां संचारे च, ग्रहणे ग्रहयुतिविषये वा, दिक्-स्थान-कालयुक्ते त्रिप्रश्नविषये, तथा चन्द्रस्य अयने गणितस्य उपयोगः भवेत् खलु | द्वीप-समुद्र-पर्वतादीनां संख्या व्यासः परिधिश्च ज्ञातुं, लोकनिवासिनां भवनपङ्क्तिं, ज्योतिर्लोकः देवलोकः नरकादिलोकानाम् मध्ये अन्तरः मातुं तथा अन्यमापनकार्यार्थं गणितस्य साहाय्यम् आवश्यमेव | प्राणिनां संस्थानं तेषाम् आयुषः दैर्घ्यम् अष्टगुणाः तेषां विकासः संयोगः वा ज्ञानं गणिताश्रितमेव | परम् एतावतः प्रलापस्य किं प्रयोजनम् ? चराचरे च त्रैलोक्ये यत्किमपि अस्ति तद् गणितेन नाम परिमाणेन गणानां विना वा न स्थातुं शक्यते |
आचार्यः महावीरः वदति, 'यथा समुद्रात् रत्नानि प्राप्यन्ते पाषाणात् सुवर्णं शुक्तिकायाः मुक्ताफलानि च प्राप्यन्ते तथैव जगदीश्वरैः पूज्यानां स्तिथप्रज्ञानां जैनमुनीनां साहाय्येन तेषां शिष्यपरम्परायाः साहाय्येन च अहं सङ्ख्याज्ञानसमुद्रात् किञ्चित् उद्धृत्य साररूपेण स्वमत्यनुसारं गणितसारसङ्ग्रहं नाम्नः लघु-ग्रन्थं रचयामि यस्य अर्थः तु अनल्पः नाम महान् अस्ति' | इति
आश्चर्यकारकं ननु यत् आचार्यः महावीरः गणितस्य दैनन्दिनव्यवहारेषु महत्त्वं कथयति ? (Illustration Required for presenting the data below)
- लौकिक-व्यवहाराः, वैदिकाः धार्मिकाः च कृतयः |
- कामशास्त्रम् ।
- अर्थशास्त्रम् ।
- सङ्गीतं नाटकं च ।
- पाककला ।
- आयुर्वेदः ।
- स्थापत्यशास्त्रम् ।
- काव्यशास्त्रम् छन्दःशास्त्रं च ।
- तर्कविद्या व्याकरणशास्त्रं च ।
- समयः कालः वा ।
- ग्रहसञ्चारः अन्तरं च ।
- समुद्र-पर्वत-द्वीपादीनां संख्या परिमाणं च ।
- लोकानां परिमाणम् |
- जनानां परिमाणम् |
दृष्टं खलु ? अस्माकं दैनन्दिन-कार्याणि यथा भोजनम्, प्रवासः, धनम्, गृहवस्तूनां क्रयणम्, भवन-निर्माणम् इत्यादयः व्यवहाराः गणिताश्रिताः | अतः गणिताध्ययनम् अतीव महत्त्वपूर्णम् अस्ति | जानातु यत् भूलोके तस्य परे च यत्किमपि वर्तते तेषु गणितस्य समावेशः भवत्येव |
अध्ययनविषयरूपेण गणितम् |
प्राचीनकालतः गणितीय-अभ्यासस्य विषयाः आसन् - लिपिः लेखा वा (अक्षराणि पठनं लेखनं च), रूपम् (आलेखनं भूमितिश्च) तथा गणना (अङ्कगणितम्) | प्रचीनबौद्धवाङ्मये गणितस्य त्रयः विभागाः वर्णिताः - मुद्रा (अङ्गुलीय-गणना), गणना (बौद्धिक-गणना), सङ्ख्यानम् (विषम-अङ्कगणितम्) |
अनन्तरकाले गणितस्य अर्थे अङ्गुलीय-गणितस्य तथा बौद्धिक-गणितस्य च समावेशः नाभवत् | गणना सुधाखण्डेन फलके भूम्यां सिकतां प्रसार्य वा कर्तुं प्रारम्भः जातः | अतः प्रगत-गणितस्य कृते फलके क्रियते इत्यर्थे पाटीगणितम् तथा च धूलिकर्म इति द्वे नामनी प्रचलिते जाते | फलकं धूलिः इत्यादिना सह सूत्रस्य शङ्कु-यन्त्रस्य (दीपस्य साहाय्येन यस्य छायामापनं भवति) च उपयोगः प्रारब्धः | तेन दैर्घ्यम् अन्तरम् इत्यादीनां गणितीय-सङ्कल्पनानाम् च मापनं भवति स्म | छायामापनेन कालगणनायाः नाक्षत्रिक-गणनायां अतीव महत्त्वपूर्णं स्थानम् आसीत् |
(Illustrations of Paatiganita and Dhulikarma, Sanku, Drawing circle using a string)
ज्ञानपेटिका |
छायामापनं समतलयुक्तेषु मुक्तक्षेत्रेषु ’शङ्कुः’ इत्यस्य स्थापनेन भवति । छायामापनं लम्बवर्तिनी भवेत् । एतावत् संस्थापितानि यन्त्राणि छायायन्त्रम् नाम्ना प्रसिद्धानि । भारतवर्षे छायामापनस्य कृते निर्मितेषु यन्त्रेषु राजपूतमहाराजेन सवाइ-जय-सिंहेन अष्टादशतमे शतके रचितेषु ’जन्तर-मन्तर’ इति नाम्ना ख्यातेषु प्राचीनस्थानेषु विद्यमानानि छायायन्त्राणि अतीवप्रसिद्धानि |
रञ्जकानि तथ्यानि |
आगामिनि पाठेषु एतादृशानां गणितीय-रञ्जक-तथ्यानां विषये अधिकं जानीमः |
वर्गकर्म |
प्रकाशस्य किरणेषु (सूर्यस्य दीपस्य वा) शङ्कुं (दण्डं अङ्कनीं वा) संस्थाप्य छायां निर्मातु | विविधवस्तुभिः (यथा लघु-दण्डः, दीर्घ-दण्डः, अङ्कनी, चित्रवर्तिका, पुस्तकम् इत्यादिभिः वस्तुभिः) निर्मितानां छायानां तुलनां करोतु | वर्गे चर्चां च करोतु |
(Illustration Required) A place holder is given below describing the concept.
L = प्रकाशस्य स्रोतः (सूर्यः दीपः वा)
ST = दीपस्य पुरतः स्थितस्य शङ्कोः औन्नत्यम् |
CT = निर्मिता छाया |
Illustration should also describe the difference of heights of a sanku and man.
अन्ये कृतयः |
- पञ्च गृहकार्याणि वर्णय यत्र गणितस्य उपयोगः भवति |
- अन्विष्यत यत् वेदेषु पुराणेषु च कति लोकानां वर्णनं अस्ति इति |
- 'जन्तर-मन्तर' विषये अन्येषां दिगवलोकनप्रासादानां विषये च अधिकं ज्ञानं प्राप्नोतु |
- यत्र कुट्टिमे प्रधानकक्षायां भित्तिकासु च प्रतिरूपाणि दृष्यन्ते तस्य ऐतिहासिक-पूजास्थानस्य शासन-भवनस्य दुर्गस्य वा द्वे चित्रे सङ्गृह्णातु |